前言

网上常见的泰勒展开、构造函数求导证明，要么抽象难懂，要么存在循环论证。本文从复数自带的旋转几何意义、匀速圆周运动切入，全程只用基础代数、实数微积分，一步步推导出欧拉公式。懂复平面的人建议直接从第三节开始看。

一、复数与旋转

1. 复数几何定义

任意复数写作 $z=x+iy$：

• $x$：实部，对应平面直角坐标系横轴；
• $y$：虚部，对应平面直角坐标系纵轴；
• 复数 $z$ 等价于平面向量 $\mathit{v}=(x,y)$。

复数乘法规则：$(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$，仅由代数定义，与指数、三角函数无关。

表面上，复数乘法只是代数运算。但如果我们追踪一个具体的复数经过乘法后的坐标变化，就会发现它暗含几何意义。

例：我们取 $z=3+4i$，乘以 $i$（即复数 $0+1\cdot i$）：

$$i\cdot (3+4i)=3i+4i^2=3i-4=-4+3i$$

坐标从 $(3,4)$ 变到 $(-4,3)$。画出从原点到这两个点的向量，可以看出：新向量正是旧向量逆时针旋转了 ${90}^{\circ }$（即 $\frac{\pi }{2}$ 弧度）的结果。

更一般地，对任意复数 $z=x+iy$：

$$i\cdot z=i(x+iy)=-y+ix$$

对应的向量变换为 $(x,y)\to (-y,x)$，这正是逆时针旋转 ${90}^{\circ }$ 的线性变换。方向一致，长度不变。

核心结论（独立公理）：复数乘以 $i$，等价于将对应平面向量逆时针旋转90°，且不改变向量长度。

二、匀速圆周运动：复数描述质点位置

1. 全部物理变量统一标注

2. 运动圆周的速度方向

根据平面三角函数定义，单位圆上转角为 $\omega t$ 的点坐标为 $(\cos \omega t,\sin \omega t)$，写成复数形式：

$$z(t)=\cos (\omega t)+i\sin (\omega t)$$

配图说明：位置向量 $z(t)$，与横轴夹角 $\omega t$；横轴投影 $\cos \omega t$，纵轴投影 $\sin \omega t$。

三、几何规律：速度向量垂直于位置向量

圆的基础几何性质：圆的切线永远垂直于过切点的半径。

物理圆周运动中我们知道，速度是位移对时间的变化率。在单位圆上，弧长变化率等于角速度 $\omega$，因此缩放系数恰好为 $\omega$，直接得到矢量关系：

已知位置：

$$z(t)=\cos (\omega t)+i\sin (\omega t)$$

对时间 $t$ 求导：

$$\frac{dz}{dt}=-\omega \sin (\omega t)+i\omega \cos (\omega t)$$

提取公因子 $\omega$：

$$\frac{dz}{dt}=\omega [-\sin (\omega t)+i\cos (\omega t)]$$

观察上式的中括号部分：$-\sin (\omega t)+i\cos (\omega t)$。

回顾第一部分的核心结论：复数乘以 $i$ 等于逆时针旋转 ${90}^{\circ }$。把位置向量 $z(t)=\cos (\omega t)+i\sin (\omega t)$ 乘以 $i$：

$$i\cdot z(t)=i\cos (\omega t)+i^2\sin (\omega t)=-\sin (\omega t)+i\cos (\omega t)$$

这正是导数公式里中括号的部分！

于是：

$$\frac{dz}{dt}=\omega \cdot i\cdot z(t)=i\omega \cdot z(t)$$

结合第一部分结论：位置向量 $z(t)$，垂直于它的短箭头为切线速度 $dz$，标注"速度 = 位置旋转90°再缩放 $\omega$ 倍"。

四、解微分方程，推导出复指数

现在我们得到一阶常微分方程：

$$\frac{dz}{dt}=i\omega \cdot z(t)$$

初始条件：$t=0$ 时，转角 $\omega t=0$，$z(0)=\cos 0+i\sin 0=1$。

解步骤：

1. 分离变量：

   $$\frac{dz}{z}=i\omega dt$$

2. 两边积分（此时 $z$ 沿单位圆运动，不经过原点，对数单值有效）：

   $$\int \frac{1}{z}dz=\int i\omega dt⟹\ln z=i\omega t+C$$

3. 代入初始条件 $t=0,z=1$：$\ln 1=0=C$，化简得：

   $$z(t)=e^{i\omega t}$$

五、联立等式，得到通用欧拉公式

我们有两个完全等价的表达式描述同一个圆周上的质点位置：

1. 三角函数几何形式：$z(t)=\cos (\omega t)+i\sin (\omega t)$
2. 微分方程指数解形式：$z(t)=e^{i\omega t}$

联立二者，得到通用欧拉公式：

$$e^{i\omega t}=\cos (\omega t)+i\sin (\omega t)$$

令转角 $\theta =\omega t$，替换变量得到标准欧拉公式：

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

六、补充：向心加速度，物理闭环

对速度再次求导，得到加速度矢量：

$$a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(i\omega z(t))=i\omega \cdot i\omega z(t)=-{\omega }^{2}z(t)$$

• 乘数 $-1$ 代表向量旋转 ${180}^{\circ }$，加速度方向与位置向量相反，指向圆心；
• 加速度大小 $a={\omega }^2$，完全符合匀速圆周运动向心加速度物理规律。