建议先看我前面写的傅里叶文章后，再来读这个，我这里不在详细的回顾之前的推导。
https://mp.weixin.qq.com/s/5C5uVWAxcGw-hxEDbZGDSw
https://mp.weixin.qq.com/s/P_yuV0OPA2citU_bMubtWg

傅里叶级数里明明是一根根离散谱线，为什么到了傅里叶变换里，就突然变成了一条连续曲线？
傅里叶级数的系数是 $C_n$，傅里叶变换里为什么不继续叫 $C(\omega )$，而要重新定义一个 $F(\omega )$？

这篇文章想从傅里叶级数的公式出发并计算 $C_n$，为了是回忆一下傅里叶级数，然后一步一步推到傅里叶变换，并重点解释中间最容易混乱的几个地方。

不要看到计算就害怕，因为我写的真的很清楚了。

核心思想可以先放在这里：

傅里叶变换不是凭空出现的，它可以看作是傅里叶级数在周期 $T\to \mathrm{\infty }$ 时的极限形式。

---

一、傅里叶级数系数 $C_n$

对于一个周期为 $T$ 的连续周期信号，其复指数形式的傅里叶级数为：

$$f(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}$$

其中：

$${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$$

${\omega }_0$ 称为基波角频率，也叫基频角频率。

注意：

• ${\omega }_0$ 的单位是 rad/s；
• $f_0=\frac{1}{T}$ 称为基频，单位是 Hz；
• “基波”通常指频率为 ${\omega }_0$ 的那一项信号分量，而不是 ${\omega }_0$ 这个数本身。

频域中的谱线只会出现在基波角频率的整数倍位置：

$$\omega =n{\omega }_0,n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$$

这些离散频率点上的谱线共同组成了周期信号的频谱。

---

二、$C_n$ 的物理意义

$C_n$ 表示频率 $\omega =n{\omega }_0$ 处那根谱线的复振幅。

也就是说：

• $C_0$：表示 $\omega =0$ 处谱线的复振幅，也就是直流分量
• $C_1$：表示 $\omega ={\omega }_0$ 处谱线的复振幅
• $C_{-1}$：表示 $\omega =-{\omega }_0$ 处谱线的复振幅
• $C_2$：表示 $\omega =2{\omega }_0$ 处谱线的复振幅
• $C_{-2}$：表示 $\omega =-2{\omega }_0$ 处谱线的复振幅

一般地：

$$C_n⟷\omega =n{\omega }_0\text{ 处谱线的复振幅}$$

因此：

• 谱线的位置由 $n{\omega }_0$ 决定；
• 谱线的复振幅由 $C_n$ 决定；
• 谱线的高度通常画为 $|C_n|$；
• 谱线的相位通常画为 $\mathrm{\angle }{C}_n$。

---

三、如何计算 $C_n$

傅里叶级数系数由下面的积分给出：

$$C_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt$$

这个积分的作用是：用 $e^{-jn{\omega }_{0}t}$ 去“试探”信号 $f(t)$ 中是否含有频率为 $n{\omega }_0$ 的成分。

哲学：你不试探一下你自己，你就不知道自己有多菜。🤣

这里的 $n$ 可以取：

$$n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$$

也就是说，$n$ 表示第几条谱线，或者说第几阶谐波。

如果计算结果：

$$C_n\ne 0$$

说明频率 $\omega =n{\omega }_0$ 处有谱线。

如果计算结果：

$$C_n=0$$

说明频率 $\omega =n{\omega }_0$ 处没有谱线。

---

四、计算具体谱线

如果题目要求计算：

$$n=0,\pm 1,\pm 2$$

对应的谱线，那么只需要分别计算：

$$C_0,C_1,C_{-1},C_2,C_{-2}$$

1. 直流分量

$$C_0=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)dt$$

对应频率：

$$\omega =0$$

2. 正一阶谐波

$$C_1=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j{\omega }_{0}t}dt$$

对应频率：

$$\omega ={\omega }_0$$

3. 负一阶谐波

$$C_{-1}=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{j{\omega }_{0}t}dt$$

对应频率：

$$\omega =-{\omega }_0$$

4. 正二阶谐波

$$C_2=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j2{\omega }_{0}t}dt$$

对应频率：

$$\omega =2{\omega }_0$$

5. 负二阶谐波

$$C_{-2}=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{j2{\omega }_{0}t}dt$$

对应频率：

$$\omega =-2{\omega }_0$$

---

五、从 $C_n$ 到频谱

傅里叶级数的频谱由一根根离散谱线组成。第 $n$ 条谱线位于

$$\omega =n{\omega }_0$$

其复振幅为

$$C_n=|C_n|e^{j\mathrm{\angle }{C}_n}$$

其中 $|C_n|$ 是幅度谱，$\mathrm{\angle }{C}_n$ 是相位谱。计算频谱时，只需在离散频率点 $\omega =n{\omega }_0$ 上计算对应的 $C_n$：

$$C_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t},dt$$

---

六、下面傅里叶变换开始了：大家坐好了，准备go

现在我们把 $C_n$ 代回傅里叶级数：

$$f(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(\tau )e^{-jn{\omega }_0\tau }d\tau ]e^{jn{\omega }_{0}t}$$

因为：

$${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$$

所以：

$$\frac{1}{T}=\frac{{\omega }_0}{2\pi }$$

于是上式可以改写为：

$$f(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[\frac{{\omega }_0}{2\pi }{\int }_{-T/2}^{T/2}f(\tau )e^{-jn{\omega }_0\tau }d\tau ]e^{jn{\omega }_{0}t}$$

把 $\frac{1}{2\pi }$ 提出来，并把 ${\omega }_0$ 放到求和项末尾：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[{\int }_{-T/2}^{T/2}f(\tau )e^{-jn{\omega }_0\tau }d\tau ]e^{jn{\omega }_{0}t}{\omega }_0$$

这个形式非常关键，因为它已经很像一个积分了：

$$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\cdots ){\omega }_0$$

看上面的公式就可以分析出：当频率间隔 ${\omega }_0$ 变得越来越小时，它就会变成连续积分。

---

七、当周期 $T\to \mathrm{\infty }$ 时，发生了什么？

现在进入最关键的一步。

让周期：

$$T\to \mathrm{\infty }$$

这一步可以理解为：

把周期信号的周期拉得越来越长，使相邻两次重复之间的距离越来越远，最后得到一个非周期信号。

例如一个单次脉冲、一次雷声、一个瞬间衰减的波形，都可以看作是周期无限大时的极限情形。

当 $T\to \mathrm{\infty }$ 时，公式中的几个量会同时发生变化。

1. 积分区间从有限变成无限

原本傅里叶级数只在一个周期内积分：

$${\int }_{-T/2}^{T/2}$$

当 $T\to \mathrm{\infty }$ 时，积分区间变成整条时间轴：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$$

2. 谱线间隔变成无穷小

因为：

$${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$$

所以当 $T\to \mathrm{\infty }$ 时：

$${\omega }_0\to 0$$

也就是说，原本相邻谱线之间的间隔越来越小。

在极限情况下，可以把离散频率间隔 ${\omega }_0$ 看成微分量：

$${\omega }_0\to d\omega$$

3. 离散频率变成连续频率

原来的频率点是：

$$n{\omega }_0$$

它只能取一串离散值。

但当 ${\omega }_0\to 0$ 时，这些频率点变得无限密集，最终铺满整条频率轴，于是：

$$n{\omega }_0\to \omega$$

其中 $\omega$ 成为连续频率变量。

4. 求和变成积分

原来的求和形式是：

$$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\cdots ){\omega }_0$$

当 ${\omega }_0\to d\omega$，并且离散频率点变成连续频率后，它就变成了积分：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\cdots )d\omega$$

---

八、傅里叶变换自然出现了

回到刚才的公式：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[{\int }_{-T/2}^{T/2}f(\tau )e^{-jn{\omega }_0\tau }d\tau ]e^{jn{\omega }_{0}t}{\omega }_0$$

当 $T\to \mathrm{\infty }$ 时，有：

$${\int }_{-T/2}^{T/2}\to {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$$$$n{\omega }_0\to \omega$$$${\omega }_0\to d\omega$$$$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\cdots ){\omega }_0\to {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\cdots )d\omega$$

于是得到：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau ]e^{j\omega t}d\omega$$

这时，我们把中括号里的部分单独定义为 $F(\omega )$：

$$F(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau$$

于是得到傅里叶变换对：

$$F(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-j\omega t}dt$$$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )e^{j\omega t}d\omega$$

这就是傅里叶变换。

---

九、为什么不直接让 $C_n$ 变成 $C(\omega )$？

很多人学到这里会问：

傅里叶级数的系数是 $C_n$，现在频率连续了，为什么不直接写成 $C(\omega )$？

原因是：

当 $T\to \mathrm{\infty }$ 时，单根谱线的复振幅 $C_n$ 会趋近于 0。

这不是记号问题，而是本质问题。

回看傅里叶级数系数：

$$C_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(\tau )e^{-jn{\omega }_0\tau }d\tau$$

这里有一个关键因子：

$$\frac{1}{T}$$

当：

$$T\to \mathrm{\infty }$$

时：

$$\frac{1}{T}\to 0$$

对于非周期有限能量信号来说，信号只在有限时间内有明显变化，而周期被拉到无限大。于是每一根离散谱线分到的复振幅越来越小。最后，单根谱线的复振幅趋近于 0。所以如果我们强行令：

$$C_n\to C(\omega )$$

那么这个 $C(\omega )$ 通常会变成处处为 0，无法描述频域结构。

这就像你把一杯水摊到一条无限长的线上，每一个孤立点分到的水量都是 0。但这并不代表整条线上没有水，而是水被连续地分布开了。

---

十、傅里叶变换其实对应 $T{C}_n$ 的极限

为了得到一个有限的、有意义的频域函数，我们不能直接看 $C_n$，而要看：

$$T{C}_n$$

由傅里叶级数系数公式：

$$C_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(\tau )e^{-jn{\omega }_0\tau }d\tau$$

两边乘以 $T$，得到：

$$T{C}_n={\int }_{-T/2}^{T/2}f(\tau )e^{-jn{\omega }_0\tau }d\tau$$

当 $T\to \mathrm{\infty }$ 时：

$$T{C}_n\to {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau$$

于是：

$$F(\omega )=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}T{C}_n$$

其中：

$$\omega =n{\omega }_0$$

这句话非常重要：

傅里叶变换 $F(\omega )$ 不是傅里叶级数系数 $C_n$ 的简单连续化，而是 $T{C}_n$ 在 $T\to \mathrm{\infty }$ 时的极限。

换句话说：

$$C_n\approx \frac{1}{T}F(n{\omega }_0)$$

又因为：

$${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$$

所以：

$$\frac{1}{T}=\frac{{\omega }_0}{2\pi }$$

因此也可以写成：

$$C_n\approx \frac{{\omega }_0}{2\pi }F(n{\omega }_0)$$

这正好解释了傅里叶逆变换中为什么会出现 $\frac{1}{2\pi }$ 和 $d\omega$。

---

十一、连续频谱的纵坐标到底是什么意思？

傅里叶级数中，$C_n$ 是一根谱线的复振幅。

但傅里叶变换中，$F(\omega )$ 不是某个孤立频率点上的真实振幅。

更准确地说：

在角频率形式下，$F(\omega )$ 可以理解为相对于角频率 $\omega$ 的频谱密度。

在连续频谱中，单个频率点没有宽度，因此单个频率点本身对应的实际贡献为 0。

真正有意义的是一个很小频率区间内的贡献。

傅里叶逆变换为：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )e^{j\omega t}d\omega$$

其中一个很小频带 $[\omega ,\omega +d\omega ]$ 对信号的贡献大约是：

$$\frac{1}{2\pi }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega$$

所以连续频谱里真正参与叠加的不是孤立的 $F(\omega )$，而是带有频率宽度的微元项：

$$F(\omega )d\omega$$

在角频率 $\omega$ 的写法下，如果 $f(t)$ 的单位是 V，则：

$$F(\omega )$$

的单位是：

$$\text{V}\cdot \text{s}$$

因为：

$$F(\omega )=\int f(t)e^{-j\omega t}dt$$

积分中 $dt$ 的单位是 s。

而 $d\omega$ 的单位是 rad/s，rad 通常视为无量纲，所以 $d\omega$ 的量纲可看作 $1/\text{s}$。因此：

$$F(\omega )d\omega$$

的单位回到 V。

再乘上无量纲的 $\frac{1}{2\pi }$ 和 $e^{j\omega t}$，最后得到的仍然是原信号的单位 V。

如果使用普通频率 $f$，单位是 Hz，那么傅里叶变换常写成：

$$X(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t)e^{-j2\pi ft}dt$$$$x(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f)e^{j2\pi ft}df$$

这时 $X(f)$ 可以理解为相对于 Hz 的频谱密度。

如果 $x(t)$ 的单位是 V，那么：

$$X(f)$$

的单位是：

$$\text{V}\cdot \text{s}$$

由于：

$$1\text{Hz}=1/\text{s}$$

所以也可以写成：

$$\frac{\text{V}}{\text{Hz}}$$

注意：角频率 $\omega$ 和普通频率 $f$ 只差一个 $2\pi$：

$$\omega =2\pi f$$

所以不同教材里单位和 $2\pi$ 的位置会略有不同，本质是同一件事。

---

十二、一个生活类比：速度和位移

“单点频率上的贡献为 0”这件事很反直觉。

可以用速度来类比。

假设一辆车正在高速路上行驶，速度表显示：

$$120\text{km/h}$$

现在问一个问题：

在正午 12 点整这个没有时间宽度的瞬间，汽车前进了多少公里？

答案是：

$$0$$

因为一个孤立瞬间没有时间长度。

再快的速度，如果乘以：

$$dt=0$$

得到的位移也是 0。

真正有意义的是一小段时间内的位移：

$$ds=v(t)dt$$

速度 $v(t)$ 本身不是位移，它是“位移对时间的密度”。

傅里叶变换中的 $F(\omega )$ 也是类似的。

$F(\omega )$ 本身不是某个孤立频点上的真实振幅，它更像是“振幅对频率的密度”。

真正参与合成的是：

$$F(\omega )d\omega$$

再乘上基函数：

$$e^{j\omega t}$$

最后对所有频率积分，才还原出原信号。

---

十三、傅里叶级数和傅里叶变换的公式对齐

现在把两套公式放在一起看，会更清楚。

1. 傅里叶级数：周期信号，离散频谱

分析公式：

$$C_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t},dt$$

合成公式：

$$f(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}$$

其中：

$${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$$

特点是：频率只出现在 $\omega =n{\omega }_0$ 上，频谱是一根根离散谱线，$C_n$ 是对应谱线的复振幅。周期信号通常讨论平均功率，而不是总能量。

2. 傅里叶变换：非周期信号，连续频谱

分析公式：

$$F(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-j\omega t},dt$$

合成公式：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )e^{j\omega t},d\omega$$

特点是：频率 $\omega$ 连续变化，频谱是连续曲线，$F(\omega )$ 可以理解为相对于角频率的频谱密度。非周期有限能量信号通常讨论能量分布。

3. 两者之间的关键关系

当周期 $T$ 越来越大时，

$${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\to 0$$

所以离散频率点

$$\omega =n{\omega }_0$$

会越来越密，最后趋向连续频率变量 $\omega$。

傅里叶变换和傅里叶级数系数的关系为：

$$F(\omega )=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}T{C}_n,\omega =n{\omega }_0$$

也可以近似写成：

$$C_n\approx \frac{1}{T}F(n{\omega }_0)$$

又因为：

$$\frac{1}{T}=\frac{{\omega }_0}{2\pi }$$

所以：

$$C_n\approx \frac{{\omega }_0}{2\pi }F(n{\omega }_0)$$

代回傅里叶级数合成公式：

$$f(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}$$

得到：

$$f(t)\approx \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\omega }_0}{2\pi }F(n{\omega }_0)e^{jn{\omega }_{0}t}$$

当 ${\omega }_0\to 0$ 时，上式变成积分：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )e^{j\omega t},d\omega$$

这就是傅里叶逆变换。

十四、最核心的逻辑链条

整件事可以压缩成一条逻辑链：

$$T\uparrow \Rightarrow {\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\downarrow \Rightarrow \text{谱线越来越密}$$

同时：

$$C_n\sim \frac{1}{T}\Rightarrow \text{单根谱线越来越矮}$$

最后当 $T\to \mathrm{\infty }$ 时：

$${\omega }_0\to d\omega ,n{\omega }_0\to \omega$$$$\sum (\cdots ){\omega }_0\to \int (\cdots ),d\omega$$$$C_n\to 0,T{C}_n\to F(\omega )$$

所以，傅里叶变换不是“把 $C_n$ 改名成 $F(\omega )$”，而是在“谱线无限变密、单根无限变矮”的极限中，提取出一个有限的频谱密度函数 $F(\omega )$。

我写完，你读完，那就撒花：🎉🎉🎉🎉🎉🎉🎉🎉🎉。