学高数时，我们先背周期 $2\pi$、区间 $[-\pi ,\pi ]$ 的傅里叶；后来遇到 $[-L,L]$ 对称区间；到电路、信号处理直接上手「任意起点 $t_0$、任意周期 $T$」的工程公式。我已经头晕到分不清 $\frac{1}{\pi }$、$\frac{1}{L}$、$\frac{2}{T}$ 和里面 $nx$、$\frac{n\pi x}{L}$、$n\omega t$ ，到底是干嘛的了。

傅里叶级数（无论是实数形式还是复指数形式）的成立，有一个绝对死板的前提：函数必须是周期函数，因此本章默认都是周期函数，等有空去写非周期的，现在我还是从头捋一遍，希望所有公式都能自己推出来。

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大杀器理论：完备正交基需要的条件

一组函数 $\{{\varphi }_n(t)\}$ 在区间 $[a,b]$ 上构成完备正交基，需要满足：

1. 正交性：任意两个不同基函数的内积为 0

   $${\int }_a^b{\varphi }_m(t){\varphi }_n(t)dt=0(m\ne n)$$

2. 非零性：每个基函数与自身的内积大于 0

   $${\int }_a^b{\varphi }_n^2(t)dt>0$$

3. 完备性：区间内任意平方可积函数 $f(t)$ 都可以唯一表示为这些基函数的线性组合

   $$f(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{\varphi }_n(t)$$

有了这个基础，后面的所有公式，都是从它长出来的。

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一、入门最简模型，周期 $T=2\pi$，区间 $[-\pi ,\pi ]$

这一段可以参考我之前的一篇文章，写的小白也可以读懂：
傅里叶级数：从坐标系到频谱

1. 最简级数展开式

设 $f(x)$ 周期 $2\pi$，在 $[-\pi ,\pi ]$ 可积，展开：

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\cos nx+b_n\sin nx]$$

2. 配套系数公式

$$\{\begin{array}{l}{a}_0={\displaystyle \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx}\\ a_n={\displaystyle \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx}\\ b_n={\displaystyle \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx}\end{array}$$

3. 基础定义

周期 $T=2\pi$，基波角频率 ${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}=1$，所以三角函数是 $\cos (n\cdot 1\cdot x)=\cos nx$。

这套仅适合区间刚好 $[-\pi ,\pi ]$，实际工程几乎用不上，只是教学简化工具，方便学习者理解傅里叶级数。

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二、从正交基出发，推广到任意周期 $T=2L$

也可以用换元法去做，但是页面空白太小，我写不下，哈哈哈

第一层教学公式的本质是什么？是我们在一组完备正交基上分解函数 $f(x)$。这组基函数在区间 $[-\pi ,\pi ]$ 上满足正交性：

• ${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos mx\cos nxdx=0$ （$m\ne n$）
• ${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\sin nxdx=0$ （$m\ne n$）
• ${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos mx\sin nxdx=0$ （任意 $m,n$）

系数公式 $\frac{1}{\pi }\int f(x)\cos nxdx$ 正是利用这种正交性“投影”求出的。

现在，设想我们有一个周期 $T=2L$ 的函数 $f(t)$，定义在 $[-L,L]$ 上。我们想找到它在这段区间上的新正交基。

1. 构建周期 $2L$ 上的正交基

我们希望新基函数 $\cos (\cdot )$、$\sin (\cdot )$ 在区间 $[-L,L]$ 上正交，且周期为 $2L$。最自然的构造是：将第一层的基函数进行“压扩”。

新的一组正交基为：

$$\{1,\cos \left(\frac{n\pi t}{L}\right),\sin \left(\frac{n\pi t}{L}\right)\}(n=1,2,3,\dots )$$

也可以统一用角频率 $\omega$ 的形式书写：

$$\{1,\cos (n\omega t),\sin (n\omega t)\}(n=1,2,3,\dots )$$

角频率公式为：

$$\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}$$

其中：

• $\omega$：角频率（单位：rad/s）

• $f$：频率（单位：Hz）

• $T$：周期（单位：s）

• 第一层基函数的角频率为 $1$，周期为 $2\pi$。

• 新基函数的角频率应为 $\frac{\pi }{L}$，此时周期为 $2L$。

验证新的一组正交基的正交性（以 $\cos$ 为例）：

在区间 $[-L,L]$ 上，计算：

$${\int }_{-L}^L\cos \left(\frac{m\pi t}{L}\right)\cos \left(\frac{n\pi t}{L}\right)dt$$

令 $x=\frac{\pi t}{L}$，则 $t=\frac{L}{\pi }x$，$dt=\frac{L}{\pi }dx$，

• 当 $t=-L$ 时，$x=\frac{\pi (-L)}{L}=-\pi$
• 当 $t=L$ 时，$x=\frac{\pi (L)}{L}=\pi$

所以积分下限从 $-L$ 变成 $-\pi$，上限从 $L$ 变成 $\pi$，即 $[-\pi ,\pi ]$。积分变量变了，积分限也要同步变换。
上式化为：

$$\frac{L}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (mx)\cos (nx)dx$$

第一层已知 ${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (mx)\cos (nx)dx=0$（$m\ne n$），且当 $m=n>0$ 时等于 $\pi$。因此新基在 $[-L,L]$ 上正交，且：

• 当 $m=n>0$ 时：${\int }_{-L}^L{\cos }^2(\frac{n\pi t}{L})dt=L$
• 同理，${\int }_{-L}^L{\sin }^2(\frac{n\pi t}{L})dt=L$
• ${\int }_{-L}^L{1}^{2}dt=2L$（直流分量的归一化因子）

2. 用新正交基求系数

将 $f(t)$ 在这组新基上展开：

$$f(t)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\cos \left(\frac{n\pi t}{L}\right)+b_n\sin \left(\frac{n\pi t}{L}\right)]$$

对等式两边同乘 $\cos (\frac{n\pi t}{L})$，并在 $[-L,L]$ 上积分，利用正交性（只有与自己平方项乘积后保留）：

$${\int }_{-L}^{L}f(t)\cos \left(\frac{n\pi t}{L}\right)dt=a_n\cdot {\int }_{-L}^L{\cos }^2\left(\frac{n\pi t}{L}\right)dt=a_n\cdot L$$

所以：

$$a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)\cos \left(\frac{n\pi t}{L}\right)dt$$

同理：

$$b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)\sin \left(\frac{n\pi t}{L}\right)dt$$

直流分量 $a_0$ 通过对两边乘 $1$ 并积分得到：

$${\int }_{-L}^{L}f(t)dt=\frac{a_0}{2}\cdot 2L⟹a_0=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)dt$$

结果完全一致：

$$\boxed{{\displaystyle \{\begin{array}{l}{a}_0={\displaystyle \frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)dt}\\ a_n={\displaystyle \frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)\cos \left(\frac{n\pi t}{L}\right)dt}\\ b_n={\displaystyle \frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)\sin \left(\frac{n\pi t}{L}\right)dt}\end{array}}}$$

于是傅里叶级数公式出来了：

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三、终极通用——任意起点 $t_0$、任意周期 $T$

继续从正交基出发

现在周期记为 $T$，则 $L=T/2$。新基的角频率 $\frac{\pi }{L}=\frac{2\pi }{T}=\omega$（工程标准角频率）。

因此，周期 $T$ 上的正交基为：

$$\{1,\cos (n\omega t),\sin (n\omega t)\}(n=1,2,\dots )$$

用正交性直接求系数

在任意长度为 $T$ 的区间 $[t_0,t_0+T]$ 上，利用周期函数积分与起点无关的性质，有：

• ${\int }_{t_0}^{t_0+T}\cos (m\omega t)\cos (n\omega t)dt=0$（$m\ne n$）
• ${\int }_{t_0}^{t_0+T}{\cos }^2(n\omega t)dt=\frac{T}{2}$

因此：

$$a_n=\frac{{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos (n\omega t)dt}{{\int }_{t_0}^{t_0+T}{\cos }^2(n\omega t)dt}=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos (n\omega t)dt$$

同理：

$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin (n\omega t)dt$$

直流分量 $a_0$（对应基函数 $1$）：

$${\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)dt=\frac{a_0}{2}\cdot T⟹a_0=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)dt$$

完整工程形式：

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t)]\\ a_n& =\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos (n\omega t)dt\\ b_n& =\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin (n\omega t)dt\end{array}}}$$

从几何图像看懂复指数 $e^{j\omega t}$ 与正负频率

想要真正理解复指数形式，我们必须先越过一关：**复指数在几何上到底是个什么图形？负频率真的存在吗？

前置基础：复指数 $e^{j\omega t}$ 是什么几何图形

根据欧拉公式定义：

$$e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$$

令 $\theta =n\omega t$，则有：

$$e^{jn\omega t}=\cos (n\omega t)+j\sin (n\omega t)$$

1. 复平面视角

我们将复平面的横轴作为实轴（Re），纵轴作为虚轴（Im）：

• $e^{jn\omega t}$ 对应单位圆上一个逆时针旋转的矢量。

• 角速度：$n\omega$。随着时间 $t$ 增大，该矢量绕原点不断逆时针转圈。

• 矢量端点坐标：$(\cos n\omega t,\sin n\omega t)$。

2. 同理：$e^{-jn\omega t}=\cos (n\omega t)-j\sin (n\omega t)$

• 对应单位圆上一个顺时针旋转的矢量。

• 角速度：$-n\omega$。其中的负号，在物理几何上唯一代表的就是旋转方向相反。

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一、$\cos (n\omega t)=\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omega t}}{2}$ 几何图像拆解

1.

物理空间合成
这个仅仅是一个旋转矢量的分解，但是可以想象有两根同样长、旋转速度相同、但方向相反的螺旋线，它们顶端相加的组合矢量，他们的的周期大小都一样的时候，随着时间推移，这个合成矢量在实轴上来回伸缩，它的运动轨迹就是我们熟悉的、没有虚部的纯实数余弦波。

• 矢量 1（正频率分量 $+n\omega$）：$e^{jn\omega t}$，逆时针旋转，坐标为 $(\cos n\omega t,\sin n\omega t)$

• 矢量 2（负频率分量 $-n\omega$）：$e^{-jn\omega t}$，顺时针旋转，坐标为 $(\cos n\omega t,-\sin n\omega t)$

现在，我们将这两个矢量在复平面上首尾相加：

$$\begin{array}{rl}\text{实部相加：}& \cos (n\omega t)+\cos (n\omega t)=2\cos (n\omega t)\\ \text{虚部相加：}& \sin (n\omega t)-\sin (n\omega t)=0\end{array}$$

相加后的总矢量为：$2\cos (n\omega t)+j\cdot 0$。可以看到，虚分量被完全抵消，合成矢量全程死死地落在实数轴上。

两边同时除以 $2$，正好得到余弦公式：

$$\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omega t}}{2}=\cos (n\omega t)$$

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二、$\sin (n\omega t)=\frac{e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}}{2j}$ 几何图像拆解

为了更直观地看图，我们先对公式做个小改写（利用 $\frac{1}{j}=-j$）：

$$\sin (n\omega t)=\frac{1}{2j}[e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}]=-\frac{j}{2}[e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}]$$

1. 先做矢量相减：$e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}$

$$\begin{array}{rl}{e}^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}& =[\cos (n\omega t)+j\sin (n\omega t)]-[\cos (n\omega t)-j\sin (n\omega t)]\\ & =0+j\cdot 2\sin (n\omega t)\end{array}$$

相减之后，实部被完全抵消，只剩下纯虚轴分量。这意味着合成矢量全程死死地落在竖直的虚轴上。

2. 再除以 $2j$（相当于乘以 $-\frac{j}{2}$）

$$\frac{j\cdot 2\sin (n\omega t)}{2j}=\sin (n\omega t)$$

物理空间差值

正负频率矢量做差值，水平实轴分量抵消，只剩下竖直虚轴上的振动。此时，再除以虚数单位 $j$，本质上就是顺时针旋转 90°，把虚轴上的振动完美映射回实数时域，从而得到了实数的正弦波。

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三、统一物理结论：负频率不是虚假概念，而是反向旋转

1. 实数信号必须“正负频率成对存在”

单独一个 $e^{jn\omega t}$ 是复数旋转信号，现实物理世界中不存在纯复值的物理信号。我们电路、力学里观测到的所有实数波形，一定是正、负频率一对复指数共轭叠加、抵消虚部后留下的实信号。

2. 对应傅里叶复数级数

• 余弦分量：$c_n=c_{-n}$，正负频率幅值相等、同相，叠加出偶对称的余弦波。

• 正弦分量：$c_n=-c_{-n}$，正负频率相位相反，叠加出奇对称的正弦波。

• 任意实周期信号：其复系数必然满足共轭对称 $c_{-n}=c_n^{\ast }$，这是保证叠加后虚部全消、结果为纯实数的根本数学底线。

四、复指数形式：从实数到复数的终极统一

1. 从实数到复数的公式对应

前面的实数傅里叶级数：

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t)]$$

利用欧拉公式：

$$\cos (n\omega t)=\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omega t}}{2},\sin (n\omega t)=\frac{e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}}{2j}$$

代入整理后，得到复指数形式的傅里叶级数：

$$\boxed{{\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{jn\omega t}}}$$

2. 系数之间的对应关系

实数系数 $(a_n,b_n)$ 与复数系数 $c_n$ 的关系为：

$$c_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a_0}{2},}& n=0\\ {\displaystyle \frac{a_n-j{b}_n}{2},}& n>0\\ {\displaystyle \frac{a_{|n|}+j{b}_{|n|}}{2},}& n<0\end{array}$$

反过来，由 $c_n$ 求 $(a_n,b_n)$：

$$\{\begin{array}{l}{a}_0=2c_0\\ a_n=c_n+c_{-n}\\ b_n=j(c_n-c_{-n})\end{array}$$

3. 复数系数的直接计算公式

利用正交性，复数系数 $c_n$ 可以直接由内积求出：

$$\boxed{{\displaystyle c_n=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-jn\omega t}dt}}$$

其中 $\omega =\frac{2\pi }{T}$，$t_0$ 为任意起点。

• 实数信号的复系数必然满足共轭对称性：$c_{-n}=c_n^{\ast }$
• 共轭对称保证了正负频率叠加后虚部抵消，结果才是纯实数
• 复数形式用一个系数 $c_n$ 同时打包了幅度和相位信息，比分开算 $a_n$ 和 $b_n$ 更简洁

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